25. Окружности с радиусами 18 и 32 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D — на второй. При этом АС и BD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD.

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей с радиусами r₁ = 18 и r₂ = 32 соответственно. AC и BD — общие касательные к этим окружностям. Прямые AB и CD параллельны.

Расстояние между прямыми AB и CD равно сумме высот, проведенных из центров O₁ и O₂ на касательные AC и BD.

Пусть расстояние между центрами O₁O₂ = r₁ + r₂ = 18 + 32 = 50.

Из центра O₁ проведем прямую, параллельную AC. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна O₁O₂ = 50, а один из катетов равен разности радиусов: r₂ - r₁ = 32 - 18 = 14.

Найдем расстояние между точками касания A и C (длина отрезка AC):

$$ AC = \sqrt{O₁O₂² - (r₂ - r₁)²} = \sqrt{50² - 14²} = \sqrt{2500 - 196} = \sqrt{2304} = 48 $$

Расстояние между прямыми AB и CD равно сумме радиусов, то есть высоте трапеции.

Рассмотрим трапецию ABCD. Её высота равна O₁O₂.

Расстояние между прямыми АВ и CD равно сумме радиусов:

$$r_1+r_2 = 18 + 32 = 50$$

Ответ: 50