25. Окружности с радиусами 27 и 81 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D — на второй. При этом AC и BD - общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD.

Пусть r = 27 и R = 81 — радиусы меньшей и большей окружностей соответственно. O₁ и O₂ — центры этих окружностей. AC и BD — общие касательные к обеим окружностям. Расстояние между прямыми AB и CD — это высота трапеции ABO₁O₂.

Опустим перпендикуляр O₁H на O₂D. Тогда O₁O₂ = r + R = 27 + 81 = 108. O₂H = R - r = 81 - 27 = 54.

В прямоугольном треугольнике O₁HO₂ гипотенуза O₁O₂ = 108, катет O₂H = 54, значит, угол O₁O₂H = 30° (так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы).

Тогда O₁H = O₁O₂ * sin(30°) = 108 * \(\frac{√3}{2}\) = 54√3.

Так как O₁H — расстояние между прямыми AB и CD, то расстояние равно 54√3.

Ответ: 54√3