Окружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках Ѕи Т, причём точки М и № лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

1. Пусть окружности с центрами M и N пересекаются в точках S и T. Отрезок ST является общей хордой этих окружностей.
2. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST.
3. Рассмотрим треугольники MST и NST. В этих треугольниках:
   • MS = MT (радиусы окружности с центром в точке M)
   • NS = NT (радиусы окружности с центром в точке N)
   • ST — общая сторона.
   Следовательно, треугольники MST и NST равны по трем сторонам.
4. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠MST = ∠NST и ∠MTS = ∠NTS. Значит, прямая MN является биссектрисой углов ∠MSN и ∠MTN.
5. Пусть O — точка пересечения прямых MN и ST. Рассмотрим треугольники MSO и NSO. В этих треугольниках:
   • MS = NS (радиусы)
   • ∠MSO = ∠NSO (так как MN — биссектриса угла ∠MSN)
   • SO — общая сторона.
   Следовательно, треугольники MSO и NSO равны по двум сторонам и углу между ними.
6. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠MOS = ∠NOS. Так как эти углы смежные, то ∠MOS = ∠NOS = 90°.
7. Таким образом, прямые MN и ST перпендикулярны.

Ответ: Прямые MN и ST перпендикулярны, что и требовалось доказать.