18. Олег и Аня не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Олег думает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Олег делает так: \(\frac{8}{6} = \frac{8-4}{6-3} = \frac{4}{3}\) Аня считает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Аня делает так: \(\frac{6}{4} = \frac{6-3}{4-2} = \frac{3}{2}\) Олег и Аня (не обязательно по очереди) тридцать раз «сократили» дробь \(\frac{2018}{2019}\) по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1952. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Ответ: 1920

Решение:

• Пусть x - количество раз, которое Олег «сократил» дробь, и y - количество раз, которое Аня «сократила» дробь.
• Тогда знаменатель дроби будет выглядеть так: \(2019 - 3x - 2y = 1952\)
• Решаем уравнение: \(3x + 2y = 2019 - 1952 = 67\)

Т.к. всего сокращений 30, то \(x + y = 30\). Выразим x через y: \(x = 30 - y\). Подставим в первое уравнение:

\[3(30 - y) + 2y = 67\]

\[90 - 3y + 2y = 67\]

\[-y = 67 - 90\]

\[y = 23\]

Теперь найдем x:

\[x = 30 - 23 = 7\]

Теперь найдем числитель дроби:

\[2018 - 4x - 3y = 2018 - 4 \cdot 7 - 3 \cdot 23 = 2018 - 28 - 69 = 1921\]

Ответ: 1921