8. Определите число решений системы уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = -x^2 + 3. \end{cases}$$ Ответ обоснуйте.

Решение: 1. Выразим $$x^2$$ из второго уравнения: $$x^2 = 3 - y$$. 2. Подставим это выражение в первое уравнение: $$(3 - y) + y^2 = 9$$. 3. Получим квадратное уравнение относительно $$y$$: $$y^2 - y - 6 = 0$$. 4. Решим квадратное уравнение: $$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$. - $$y_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ - $$y_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ 5. Найдем соответствующие значения $$x$$: - Для $$y_1 = 3$$: $$x^2 = 3 - y_1 = 3 - 3 = 0$$, следовательно, $$x = 0$$. - Для $$y_2 = -2$$: $$x^2 = 3 - y_2 = 3 - (-2) = 5$$, следовательно, $$x = \pm \sqrt{5}$$. 6. Таким образом, мы имеем три решения: $$(0, 3)$$, $$(\sqrt{5}, -2)$$, $$(-\sqrt{5}, -2)$$. Ответ: Система имеет 3 решения.