Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Рассмотрим функцию $$y = \frac{5x-8}{5x^2-8x}$$. Как выяснили ранее $$y = \frac{1}{x}$$ при $$x
eq 1.6$$

Прямая $$y=kx$$ имеет с графиком одну общую точку, если уравнение $$\frac{1}{x} = kx$$ имеет один корень.

$$kx^2 = 1$$

$$x^2 = \frac{1}{k}$$

$$x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}}$$, тогда

1) если k < 0, то корней нет.

2) если k > 0, то есть два корня, но нужно проверить, что один из корней не равен 1.6.

$$1.6 = \sqrt{\frac{1}{k}}$$

$$2.56 = \frac{1}{k}$$

$$k = \frac{1}{2.56} = \frac{100}{256} = \frac{25}{64}$$

$$x = -1.6 = -\sqrt{\frac{1}{k}}$$

$$2.56 = \frac{1}{k}$$

$$k = \frac{1}{2.56} = \frac{100}{256} = \frac{25}{64}$$

Значит, если $$k = \frac{25}{64}$$, то корень один $$x = -1.6$$ или $$x = 1.6$$, но $$x
eq 1.6$$ по условию, так как в этой точке функция не определена.

Тогда $$k = 0$$ $$\{\frac{25}{64}\}$$ график имеет одну общую точку.

Ответ: $$k \in (0;+\infty )$$, кроме $$k = \frac{25}{64}$$