Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком функции y=|x-|x|| - 3x две общие точки.

Решение:

Сначала вспомним, как выглядит график функции y = |x - |x|| - 3x, который мы построили ранее. Он состоит из двух лучей:

• \[ y = \begin{cases} -5x, & \text{если } x < 0 \\ -3x, & \text{если } x \geq 0 \end{cases} \]

График представляет собой два луча, исходящих из начала координат (0,0).

Теперь нам нужно найти, при каких значениях m прямая y = m будет иметь с этим графиком ровно две общие точки. Прямая y = m — это горизонтальная прямая.

Анализ графика:

• Если m > 0: Прямая y = m (горизонтальная, выше оси x) пересечет луч y = -5x (для x < 0) в одной точке. Она не будет пересекать луч y = -3x (для x ≥ 0), так как этот луч находится в нижней полуплоскости (или на оси x в точке (0,0)). Таким образом, будет одна точка пересечения.
• Если m = 0: Прямая y = 0 (ось x) пересечет график только в одной точке — начале координат (0,0), где оба луча сходятся.
• Если m < 0: Прямая y = m (горизонтальная, ниже оси x) пересечет луч y = -3x (для x ≥ 0) в одной точке. Она также пересечет луч y = -5x (для x < 0) в одной точке.

Таким образом, при любом отрицательном значении m прямая y = m будет пересекать обе части графика (оба луча) ровно по одному разу, что в сумме дает две точки пересечения.

Ответ: m < 0