Постройте график функции y = |x - |x|| - 3x.

Решение:

Для построения графика функции y = |x - |x|| - 3x, нам нужно раскрыть модули.

1. Раскроем внутренний модуль |x|:

• Если x ≥ 0: |x| = x.
• Если x < 0: |x| = -x.

2. Подставим это в выражение |x - |x||:

Случай 1: x ≥ 0

• \[ |x - |x|| = |x - x| = |0| = 0 \]

Случай 2: x < 0

• \[ |x - |x|| = |x - (-x)| = |x + x| = |2x| \]
• Так как x < 0, то 2x < 0. Следовательно, |2x| = -2x.

3. Теперь запишем функцию y = |x - |x|| - 3x для разных интервалов x:

Случай 1: x ≥ 0

• \[ y = 0 - 3x = -3x \]

Случай 2: x < 0

• \[ y = -2x - 3x = -5x \]

4. Строим график:

Мы получили кусочно-заданную функцию:

• \[ y = \begin{cases} -5x, & \text{если } x < 0 \\ -3x, & \text{если } x \geq 0 \end{cases} \]

Построим каждую часть:

• Для x < 0 (y = -5x): Это прямая, проходящая через начало координат. Возьмем точку, например, x = -1, тогда y = -5(-1) = 5. Точка (-1, 5).
• Для x ≥ 0 (y = -3x): Это прямая, проходящая через начало координат. Возьмем точку, например, x = 1, тогда y = -3(1) = -3. Точка (1, -3).

График состоит из двух лучей, исходящих из начала координат:

• Луч y = -5x для отрицательных значений x.
• Луч y = -3x для неотрицательных значений x.