3. Определите промежутки выпуклости вверх(вниз) и точки перегиба данной функций: $$f(x) = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17$$

Чтобы определить промежутки выпуклости и точки перегиба, необходимо найти вторую производную функции и исследовать её знак. 1. Найдем первую производную $$f'(x)$$: $$f(x) = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17$$ $$f'(x) = 4x^3 + 12x^2 - 36x + 1$$ 2. Найдем вторую производную $$f''(x)$$: $$f''(x) = 12x^2 + 24x - 36$$ 3. Определим точки, где вторая производная равна нулю: $$12x^2 + 24x - 36 = 0$$ Разделим на 12: $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16$$. Корни уравнения: $$x_1 = (-b + \sqrt{D}) / 2a = (-2 + 4) / 2 = 1$$ $$x_2 = (-b - \sqrt{D}) / 2a = (-2 - 4) / 2 = -3$$ Итак, $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = -3$$ - это точки, где вторая производная равна нулю (возможные точки перегиба). 4. Определим знаки второй производной на интервалах, разделенных точками $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = -3$$: - Интервал $$(-\infty; -3)$$: возьмем $$x = -4$$. $$f''(-4) = 12(-4)^2 + 24(-4) - 36 = 12 * 16 - 96 - 36 = 192 - 96 - 36 = 60 > 0$$. Значит, на этом интервале функция выпукла вниз. - Интервал $$(-3; 1)$$: возьмем $$x = 0$$. $$f''(0) = 12 * 0^2 + 24 * 0 - 36 = -36 < 0$$. Значит, на этом интервале функция выпукла вверх. - Интервал $$(1; +\infty)$$: возьмем $$x = 2$$. $$f''(2) = 12 * 2^2 + 24 * 2 - 36 = 12 * 4 + 48 - 36 = 48 + 48 - 36 = 60 > 0$$. Значит, на этом интервале функция выпукла вниз. 5. Запишем результаты: - Функция выпукла вниз на интервалах $$(-\infty; -3)$$ и $$(1; +\infty)$$. - Функция выпукла вверх на интервале $$(-3; 1)$$. - Точки перегиба: $$x = -3$$ и $$x = 1$$. Ответ: * Выпуклость вниз: $$(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$$ * Выпуклость вверх: $$(-3; 1)$$ * Точки перегиба: $$x = -3$$, $$x = 1$$