3. Определите промежутки выпуклости вверх(вниз) и точки перегиба данной функций: f(x)=x⁴+4x³-18x²-+x-17

Пошаговое решение:

Дано: \( f(x) = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17 \)

Первая производная: \( f'(x) = 4x^3 + 12x^2 - 36x + 1 \)

Вторая производная: \( f''(x) = 12x^2 + 24x - 36 \)

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точки перегиба: \[12x^2 + 24x - 36 = 0 \]

Разделим уравнение на 12: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]

Теперь определим знаки второй производной на интервалах, чтобы определить выпуклость.

• Интервал \( (-\infty; -3) \): Возьмем \( x = -4 \) ; \( f''(-4) = 12(-4)^2 + 24(-4) - 36 = 192 - 96 - 36 = 60 > 0 \) (выпуклость вниз).
• Интервал \( (-3; 1) \): Возьмем \( x = 0 \) ; \( f''(0) = -36 < 0 \) (выпуклость вверх).
• Интервал \( (1; +\infty) \): Возьмем \( x = 2 \) ; \( f''(2) = 12(2)^2 + 24(2) - 36 = 48 + 48 - 36 = 60 > 0 \) (выпуклость вниз).

Таким образом, функция выпукла вниз на интервалах \( (-\infty; -3) \) и \( (1; +\infty) \) и выпукла вверх на интервале \( (-3; 1) \). Точки перегиба: \( x = -3 \) и \( x = 1 \).

Ответ: Выпуклость вниз: \( (-\infty; -3) \) и \( (1; +\infty) \); выпуклость вверх: \( (-3; 1) \); точки перегиба: \( x = -3 \) и \( x = 1 \).