Определите значение выражения \(\sqrt{25a \cdot \sqrt{4b^3}} / \sqrt{ab}\) при \(a = 7\) и \(b = 11\).

Решение:

1. Упрощение выражения:
   Исходное выражение: \( \frac{\sqrt{25a \cdot \sqrt{4b^3}}}{\sqrt{ab}} \)
   Вынесем множители из-под корней:
   \[ \sqrt{4b^3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{b^3} = 2 \cdot b \sqrt{b} \]
   \[ \sqrt{25a \cdot 2b\sqrt{b}} = \sqrt{50ab\sqrt{b}} \]
   Это путь усложнения, попробуем иначе:
   \[ \frac{\sqrt{25a} \cdot \sqrt{\sqrt{4b^3}}}{\sqrt{ab}} = \frac{5\sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{4b^3}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{5 \cdot \sqrt[4]{4^2 b^6}}{\sqrt{b}} = \frac{5 \cdot \sqrt[4]{16 b^6}}{\sqrt{b}} \]
   Еще проще, если возвести числитель и знаменатель в квадрат:
   \[ \left( \frac{\sqrt{25a \cdot \sqrt{4b^3}}}{\sqrt{ab}} \right)^2 = \frac{25a \cdot \sqrt{4b^3}}{ab} = \frac{25a \cdot 2b\sqrt{b}}{ab} = \frac{50ab\sqrt{b}}{ab} = 50\sqrt{b} \]
   Теперь извлечем квадратный корень:
   \[ \sqrt{50\sqrt{b}} = \sqrt{50} \cdot \sqrt[4]{b} \]
   Этот путь также кажется неверным. Вернемся к исходному выражению и будем упрощать по шагам:
   \[ \frac{\sqrt{25a \cdot \sqrt{4b^3}}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{25a} \cdot \sqrt{\sqrt{4b^3}}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}} = \frac{5 \sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{4b^3}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}} \]
   Сократим \( \sqrt{a} \):
   \[ \frac{5 \cdot \sqrt[4]{4b^3}}{\sqrt{b}} = \frac{5 \cdot \sqrt[4]{4b^3}}{b^{1/2}} = \frac{5 \cdot (4b^3)^{1/4}}{b^{1/2}} = \frac{5 \cdot 4^{1/4} \cdot b^{3/4}}{b^{1/2}} = 5 \cdot \sqrt[4]{4} \cdot b^{3/4 - 1/2} = 5 \cdot \sqrt{2} \cdot b^{1/4} = 5 \sqrt{2} \sqrt[4]{b} \]
   Проверим еще раз:
   \[ \frac{\sqrt{25a \cdot 2 \sqrt{b^3}}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{50a b^{3/2}}}{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac{50a b^{3/2}}{ab}} = \sqrt{50 b^{1/2}} = \sqrt{50 \sqrt{b}} = \sqrt{25 \cdot 2 \sqrt{b}} = 5 \sqrt{2 \sqrt{b}} = 5 \sqrt{2} \sqrt[4]{b} \]
   Подставим значения \(a = 7\) и \(b = 11\). Заметим, что \(a\) сократилось.
   Выражение равно \(5 \sqrt{2} \sqrt[4]{11}\).
2. Перевод значения:
   При \(a = 7\) и \(b = 11\) значение выражения будет \(5 \sqrt{2} \sqrt[4]{11}\).

Ответ: $$5 \sqrt{2} \sqrt[4]{11}$$