Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. Ответ:

Дано:

• $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB = BC$$.
• $$AC = 12$$.
• Окружность с центром $$O$$ и радиусом $$R = 8$$.
• Окружность касается основания $$AC$$.
• Окружность касается продолжений боковых сторон $$AB$$ и $$BC$$.

Найти: Радиус вписанной окружности в $$\triangle ABC$$ ($$r$$).

Решение:

1. Свойства равнобедренного треугольника и касательных:
• Высота $$BH$$ к основанию $$AC$$ является также медианой и биссектрисой.
• $$AH = HC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(12) = 6$$.
• Центр вписанной окружности ($$I$$) лежит на высоте $$BH$$.
• Центр данной окружности ($$O$$) также лежит на высоте $$BH$$ (из-за симметрии).
• Высота $$BH$$ проходит через центр $$O$$ данной окружности.
• Так как окружность с центром $$O$$ касается $$AC$$, то $$OH \bot AC$$. Точка касания с $$AC$$ — это $$H$$.
• Радиус данной окружности $$R = OH = 8$$.
2. Найдем высоту BH.
• Рассмотрим $$\triangle BHC$$. Это прямоугольный треугольник.
• $$HC = 6$$.
• $$BH$$ — высота.
• $$BC$$ — гипотенуза.
• Пусть $$BH = h$$.
3. Найдем высоту BH, используя площадь.
• Пусть $$AB = BC = b$$.
• Площадь $$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AC \times BH = \frac{1}{2} \times 12 \times h = 6h$$.
• Также площадь $$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times \text{высота к AB}$$.

Важный момент: Окружность с центром $$O$$ и радиусом $$R=8$$ касается продолжений $$AB$$ и $$BC$$. Это значит, что $$O$$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $$AC$$.

Используем свойство вневписанной окружности:

Центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла, к которому она касается (в данном случае, биссектриса угла $$B$$).

Радиус вневписанной окружности $$r_b = \frac{S}{p-b}$$, где $$S$$ — площадь, $$p$$ — полупериметр, $$b$$ — сторона $$AC$$.

В нашем случае, $$R=8$$ — это радиус вневписанной окружности, касающейся основания $$AC$$. Обозначим его $$r_{AC}$$.

Тогда $$r_{AC} = 8$$.

Формула для радиуса вневписанной окружности, касающейся стороны $$a$$ (в нашем случае $$AC=12$$):

\[ r_{AC} = \frac{S}{p-b} \]

где $$b = AC = 12$$.

У нас есть $$r_{AC} = 8$$. Площадь $$S = 6h$$. Полупериметр $$p = \frac{AB+BC+AC}{2} = \frac{b+b+12}{2} = \frac{2b+12}{2} = b+6$$.

Подставим в формулу:

\[ 8 = \frac{6h}{(b+6)-12} \]

\[ 8 = \frac{6h}{b-6} \]

У нас два неизвестных ($$h$$ и $$b$$), нужно еще одно уравнение.

Из прямоугольного $$\triangle BHC$$: $$BC^2 = BH^2 + HC^2 \rightarrow b^2 = h^2 + 6^2 \rightarrow b^2 = h^2 + 36$$.

Теперь у нас система из двух уравнений:

1. $$8(b-6) = 6h \rightarrow 4(b-6) = 3h \rightarrow 4b - 24 = 3h \rightarrow h = \frac{4b-24}{3}$$
2. $$b^2 = h^2 + 36$$

Подставим $$h$$ из первого уравнения во второе:

\[ b^2 = \bigg(\frac{4b-24}{3}\bigg)^2 + 36 \]

\[ b^2 = \frac{(4b-24)^2}{9} + 36 \]

\[ 9b^2 = (16b^2 - 2 \times 4b \times 24 + 576) + 324 \]

\[ 9b^2 = 16b^2 - 192b + 576 + 324 \]

\[ 9b^2 = 16b^2 - 192b + 900 \]

\[ 0 = 7b^2 - 192b + 900 \]

Решим квадратное уравнение относительно $$b$$. Дискриминант $$D = (-192)^2 - 4 \times 7 \times 900 = 36864 - 25200 = 11664$$.

$$\text{sqrt}(D) = \text{sqrt}(11664) = 108$$.

Корни:

$$b_1 = \frac{192 + 108}{2 \times 7} = \frac{300}{14} = \frac{150}{7}$$.

$$b_2 = \frac{192 - 108}{2 \times 7} = \frac{84}{14} = 6$$.

Если $$b=6$$, то $$BC = 6$$. Но $$AC = 12$$, и в равнобедренном треугольнике основание может быть больше боковой стороны, но не равно ей, иначе это вырожденный треугольник. Проверим $$h$$ при $$b=6$$: $$h = \frac{4(6)-24}{3} = \frac{24-24}{3} = 0$$, что невозможно.

Значит, $$b = \frac{150}{7}$$.

Теперь найдем высоту $$h$$:

\[ h = \frac{4b-24}{3} = \frac{4(\frac{150}{7})-24}{3} = \frac{\frac{600}{7} - \frac{168}{7}}{3} = \frac{\frac{432}{7}}{3} = \frac{432}{21} = \frac{144}{7} \]

Высота $$BH = h = \frac{144}{7}$$.

4. Найдем радиус вписанной окружности $$r$$.

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник:

\[ r = \frac{S}{p} \]

Где $$S$$ — площадь $$\triangle ABC$$, $$p$$ — полупериметр.

$$S = 6h = 6 \times \frac{144}{7} = \frac{864}{7}$$.

$$p = b+6 = \frac{150}{7} + 6 = \frac{150 + 42}{7} = \frac{192}{7}$$.

Теперь найдем $$r$$:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{864}{7}}{\frac{192}{7}} = \frac{864}{192} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{864}{192} = \frac{432}{96} = \frac{216}{48} = \frac{108}{24} = \frac{54}{12} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

$$r = 4.5$$.

Ответ: 4.5