Решите уравнение х⁴ = (3x-2)² Ответ:

Дано:

• \[ x^4 = (3x-2)^2 \]

Решение:

Это уравнение можно решить, раскрыв квадрат и приведя подобные слагаемые, либо используя разность квадратов.

Способ 1: Раскрытие скобок

1. Возведем правую часть в квадрат:

\[ x^4 = 9x^2 - 12x + 4 \]

1. Перенесем все в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

\[ x^4 - 9x^2 + 12x - 4 = 0 \]

Это уравнение сложно решить аналитически без дополнительных методов (например, подбора корней или численных методов).

Способ 2: Использование разности квадратов

1. Перепишем уравнение как:

\[ x^4 - (3x-2)^2 = 0 \]

1. Применим формулу разности квадратов $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$, где $$a = x^2$$ и $$b = (3x-2)$$:

\[ (x^2 - (3x-2))(x^2 + (3x-2)) = 0 \]

1. Раскроем скобки внутри множителей:

\[ (x^2 - 3x + 2)(x^2 + 3x + 2) = 0 \]

1. Теперь у нас есть произведение двух квадратных уравнений. Решим каждое из них:

Уравнение 1:

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

Дискриминант $$D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1$$.

Корни: $$x_1 = \frac{3 + \text{sqrt}(1)}{2 \times 1} = \frac{3+1}{2} = 2$$.

$$x_2 = \frac{3 - \text{sqrt}(1)}{2 \times 1} = \frac{3-1}{2} = 1$$.

Уравнение 2:

\[ x^2 + 3x + 2 = 0 \]

Дискриминант $$D = (3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1$$.

Корни: $$x_3 = \frac{-3 + \text{sqrt}(1)}{2 \times 1} = \frac{-3+1}{2} = -1$$.

$$x_4 = \frac{-3 - \text{sqrt}(1)}{2 \times 1} = \frac{-3-1}{2} = -2$$.

Проверка:

Для $$x=2$$: $$2^4 = 16$$, $$(3 \times 2 - 2)^2 = (6-2)^2 = 4^2 = 16$$. Верно.

Для $$x=1$$: $$1^4 = 1$$, $$(3 \times 1 - 2)^2 = (3-2)^2 = 1^2 = 1$$. Верно.

Для $$x=-1$$: $$(-1)^4 = 1$$, $$(3 \times (-1) - 2)^2 = (-3-2)^2 = (-5)^2 = 25$$. Неверно.

Для $$x=-2$$: $$(-2)^4 = 16$$, $$(3 \times (-2) - 2)^2 = (-6-2)^2 = (-8)^2 = 64$$. Неверно.

Причина ошибки: При возведении $$x^2$$ в квадрат мы получили $$x^4$$. Правильная интерпретация $$(x^2)^2 = (3x-2)^2$$ — это $$x^2 = \text{pm}(3x-2)$$.

Пересмотр решения:

Из $$(x^2)^2 = (3x-2)^2$$ следует, что:

1. $$x^2 = 3x-2$$
2. $$x^2 = -(3x-2) \text{ или } x^2 = -3x+2$$

Решаем первое уравнение:

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

Корни $$x=1$$ и $$x=2$$ (уже найдены).

Решаем второе уравнение:

\[ x^2 + 3x - 2 = 0 \]

Дискриминант $$D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 9 + 8 = 17$$.

Корни: $$x_3 = \frac{-3 + \text{sqrt}(17)}{2}$$ и $$x_4 = \frac{-3 - \text{sqrt}(17)}{2}$$.

Теперь проверка:

Для $$x=1$$: $$1^4 = 1$$, $$(3(1)-2)^2 = 1^2 = 1$$. Верно.

Для $$x=2$$: $$2^4 = 16$$, $$(3(2)-2)^2 = 4^2 = 16$$. Верно.

Для $$x = \frac{-3 \text{ + sqrt}(17)}{2}$$: $$x^2 = -3x+2$$. Подставим в исходное: $$(-3x+2)^2 = (3x-2)^2$$, что верно, так как $$(-(3x-2))^2 = (3x-2)^2$$.

Для $$x = \frac{-3 \text{ - sqrt}(17)}{2}$$: $$x^2 = -3x+2$$. Аналогично, верно.

Ответ: $$1, 2, \frac{-3 + \text{sqrt}(17)}{2}, \frac{-3 - \text{sqrt}(17)}{2}$$