Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Найдите площадь поверхности призмы, если высота призмы – 9 см.

Давай решим эту задачу по шагам. Сначала определим, что нам известно и что требуется найти.

Дано:

• Катеты прямоугольного треугольника в основании: ( a = 5 ) см, ( b = 12 ) см
• Высота призмы: ( h = 9 ) см

Найти:

• Площадь поверхности призмы: ( S_{полн} )

Решение:

1. Найдем гипотенузу ( c ) прямоугольного треугольника в основании по теореме Пифагора:

   $$ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 $$

   Итак, гипотенуза равна 13 см.

2. Найдем площадь основания призмы ( S_{осн} ), которая является прямоугольным треугольником:

   $$ S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 $$

   Площадь основания равна 30 квадратных сантиметров.

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы ( S_{бок} ). Боковая поверхность состоит из трех прямоугольников, стороны которых - катеты и гипотенуза основания, а также высота призмы:

   $$ S_{бок} = (a + b + c)h = (5 + 12 + 13) \cdot 9 = 30 \cdot 9 = 270 $$

   Площадь боковой поверхности равна 270 квадратных сантиметров.

4. Найдем полную площадь поверхности призмы ( S_{полн} ), которая равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований:

   $$ S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 270 + 2 \cdot 30 = 270 + 60 = 330 $$

Ответ: Площадь поверхности призмы равна 330 квадратных сантиметров.