Радиус основания цилиндра равен 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём цилиндра.

Давай решим эту задачу по шагам. Сначала разберемся, что нам дано и что нужно найти.

Дано:

• Радиус основания цилиндра: ( r = 6 ) см
• Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания: ( \alpha = 60^{\circ} )

Найти:

• Объем цилиндра: ( V )

Решение:

1. Найдем высоту цилиндра ( h ). В осевом сечении цилиндра у нас получается прямоугольник, диагональ которого образует угол ( 60^{\circ} ) с основанием. Основанием этого прямоугольника является диаметр цилиндра, то есть ( 2r ).

   Используем тангенс угла ( \alpha ):

   $$ \tan(\alpha) = \frac{h}{2r} $$

   Отсюда выразим высоту ( h ):

   $$ h = 2r \cdot \tan(\alpha) $$

   Подставим известные значения:

   $$ h = 2 \cdot 6 \cdot \tan(60^{\circ}) = 12 \cdot \sqrt{3} $$

   Итак, высота цилиндра равна ( 12\sqrt{3} ) см.

2. Теперь найдем объем цилиндра ( V ) по формуле:

   $$ V = \pi r^2 h $$

   Подставим известные значения радиуса ( r = 6 ) и высоты ( h = 12\sqrt{3} ):

   $$ V = \pi \cdot 6^2 \cdot 12\sqrt{3} = \pi \cdot 36 \cdot 12\sqrt{3} = 432\pi\sqrt{3} $$

Ответ: Объем цилиндра равен ( 432\pi\sqrt{3} ) кубических сантиметров.