4. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см². Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Найдем третью сторону треугольника в основании призмы по теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\gamma}$$ $$c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 * 5 * 3 * \cos{120°}$$ $$c^2 = 25 + 9 - 30 * (-0.5) = 34 + 15 = 49$$ $$c = \sqrt{49} = 7 \text{ см}$$
2. Наибольшая боковая грань имеет площадь 56 см², значит она соответствует большей стороне основания, то есть стороне 7 см. Тогда высота призмы равна: $$h = \frac{56}{7} = 8 \text{ см}$$
3. Площади боковых граней:
   • S₁ = 5 * 8 = 40 см²
   • S₂ = 3 * 8 = 24 см²
   • S₃ = 7 * 8 = 56 см²
4. Площадь основания найдем по формуле: $$S_{осн} = \frac{1}{2}ab\sin{\gamma} = \frac{1}{2} * 5 * 3 * \sin{120°} = \frac{15}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$$
5. Площадь полной поверхности призмы: $$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 * \frac{15\sqrt{3}}{4} + 40 + 24 + 56 = \frac{15\sqrt{3}}{2} + 120 \text{ см}^2$$

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна $$\frac{15\sqrt{3}}{2} + 120 \text{ см}^2$$.