3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2√3 см, а высота равна 2 см. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания, объём пирамиды. Ответ запишите в градусах.

Решение:

1. Найдем радиус описанной окружности около основания (правильного треугольника):

   $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ см}$$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом описанной окружности (R) и боковым ребром (l). Угол наклона бокового ребра к плоскости основания ($$\alpha$$) находится напротив высоты.

   $$tg(\alpha) = \frac{H}{R} = \frac{2}{2} = 1$$

   Следовательно, угол $$\alpha = arctg(1) = 45°$$

3. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} * S_{осн} * H$$

   Площадь основания (правильного треугольника) равна:

   $$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12 \sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3} \text{ см}^2$$

4. Тогда объем пирамиды:

   $$V = \frac{1}{3} * 3\sqrt{3} * 2 = 2\sqrt{3} \text{ см}^3$$

Ответ: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45°; объем пирамиды равен $$2\sqrt{3} \text{ см}^3$$.