243 Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у кото- poro AB = AC = 13 см, ВС = 10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой по- верхности пирамиды.

Решение:

1. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 13 см, BC = 10 см. Ребро AD перпендикулярно плоскости основания, AD = 9 см.

2. Найдем площадь треугольника ABC. Проведем высоту AH к основанию BC. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому BH = HC = BC/2 = 10/2 = 5 см.

3. В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора:

$$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$

AH = √144 = 12 см

4. Площадь треугольника ABC равна:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2$$

5. Треугольники ADB и ADC - прямоугольные, т.к. AD перпендикулярно плоскости основания. Найдем DB и DC по теореме Пифагора:

$$DB = DC = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{9^2 + 13^2} = \sqrt{81 + 169} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \text{ см}$$

6. Площадь треугольника ADB равна:

$$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = 58.5 \text{ см}^2$$

7. Площадь треугольника ADC равна:

$$S_{ADC} = S_{ADB} = 58.5 \text{ см}^2$$

8. Найдем площадь треугольника DBC. DH - высота треугольника DBC. Она является медианой, т.к. треугольник равнобедренный. BH = HC = 5 см.

9. В прямоугольном треугольнике ADH:

$$DH = \sqrt{AD^2 + AH^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$

10. Площадь треугольника DBC равна:

$$S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75 \text{ см}^2$$

11. Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

$$S_{бок} = S_{ADB} + S_{ADC} + S_{DBC} = 58.5 + 58.5 + 75 = 192 \text{ см}^2$$

Ответ: 192 см²