240 Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны кото- рого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см². Высота пи- рамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пира- миды.

Решение:

1) Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:

$$S = a \cdot b \cdot sin \alpha$$

$$360 = 20 \cdot 36 \cdot sin \alpha$$

$$sin \alpha = \frac{360}{20 \cdot 36} = \frac{360}{720} = \frac{1}{2}$$

$$\alpha = arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$$

Значит, больший угол параллелограмма равен: $$180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$$

2) Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне:

$$h = a \cdot sin \alpha = 20 \cdot sin 30^\circ = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ см}$$

3) Высота параллелограмма, проведенная к меньшей стороне:

$$h = b \cdot sin \alpha = 36 \cdot sin 30^\circ = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18 \text{ см}$$

4) Т.к. высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, то боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Высота боковых граней:

$$l = \sqrt{h^2 + H^2}$$

Для граней, опирающихся на сторону 20 см:

$$l_1 = \sqrt{10^2 + 12^2} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} = 2 \sqrt{61} \text{ см}$$

Для граней, опирающихся на сторону 36 см:

$$l_2 = \sqrt{18^2 + 12^2} = \sqrt{324 + 144} = \sqrt{468} = 6 \sqrt{13} \text{ см}$$

5) Площадь боковой поверхности пирамиды:

$$S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l_1 + \frac{1}{2} \cdot b \cdot l_2) = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 2\sqrt{61} + \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 6\sqrt{13}) = 40\sqrt{61} + 216\sqrt{13} \approx 1164.47 \text{ см}^2$$

Ответ: $$40\sqrt{61} + 216\sqrt{13} \approx 1164.47 \text{ см}^2$$