2.Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором АВ = 20см, АС = 29см, ВС = 21 см. Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол в 60°. Найти объем пирамиды.

2. Дано: Пирамида DABC, основание - треугольник ABC, AB = 20 см, AC = 29 см, BC = 21 см. Грани DAB и DAC перпендикулярны плоскости основания, грань DBC составляет с плоскостью основания угол 60°.

Найти: Объем пирамиды V.

Решение:

1. Так как грани DAB и DAC перпендикулярны плоскости основания, ребро DA является высотой пирамиды.
2. Площадь треугольника ABC найдем по формуле Герона: $$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{20 + 29 + 21}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ см}$$$$S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} = \sqrt{35(35 - 20)(35 - 29)(35 - 21)} = \sqrt{35 \cdot 15 \cdot 6 \cdot 14} = \sqrt{5 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210 \text{ см}^2$$
3. Высота AD пирамиды является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой AD, высотой AH треугольника ABC, опущенной на сторону BC, и углом 60° между гранью DBC и плоскостью основания.
4. Найдем высоту AH треугольника ABC, опущенную на сторону BC:$$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \implies AH = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \cdot 210}{21} = 20 \text{ см}$$
5. Найдем высоту AD пирамиды:$$AD = AH \cdot tg(60°) = 20 \cdot \sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ см}$$
6. Объем пирамиды:$$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot AD = \frac{1}{3} \cdot 210 \cdot 20\sqrt{3} = \frac{4200\sqrt{3}}{3} = 1400\sqrt{3} \text{ см}^3$$

Ответ: $$1400\sqrt{3} \text{ см}^3$$