1.В прямом параллелепипеде стороны основания, равные 4 и 6 см, образуют угол 60°. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

1. Дано: Прямой параллелепипед, стороны основания a = 4 см, b = 6 см, угол между ними γ = 60°, угол между большей диагональю и плоскостью основания α = 45°.

Найти: Объем параллелепипеда V.

Решение:

1. Площадь основания параллелепипеда: $$S = a \cdot b \cdot sin(γ) = 4 \cdot 6 \cdot sin(60°) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2$$
2. Квадрат большей диагонали основания: $$d^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(180° - γ) = a^2 + b^2 + 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(γ) = 4^2 + 6^2 + 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot cos(60°) = 16 + 36 + 48 \cdot \frac{1}{2} = 52 + 24 = 76$$
3. Большая диагональ основания: $$d = \sqrt{76} \text{ см}$$
4. Высота параллелепипеда (из прямоугольного треугольника, образованного большей диагональю параллелепипеда, большей диагональю основания и высотой): $$h = d \cdot tg(α) = \sqrt{76} \cdot tg(45°) = \sqrt{76} \cdot 1 = \sqrt{76} \text{ см}$$
5. Объем параллелепипеда: $$V = S \cdot h = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{76} = 12\sqrt{228} = 12\sqrt{4 \cdot 57} = 12 \cdot 2 \sqrt{57} = 24\sqrt{57} \text{ см}^3$$

Ответ: $$24\sqrt{57} \text{ см}^3$$