3.Вычислите объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды со сторонами основания 7 и 9 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°.

3. Дано: Правильная четырехугольная усеченная пирамида, стороны оснований a = 7 см, b = 9 см, угол наклона бокового ребра к плоскости основания α = 30°.

Найти: Объем усеченной пирамиды V.

Решение:

1. Высота усеченной пирамиды:$$h = \frac{b - a}{2} \cdot tg(α) = \frac{9 - 7}{2} \cdot tg(30°) = \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$$
2. Объем усеченной пирамиды:$$V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (7^2 + 9^2 + \sqrt{7^2 \cdot 9^2}) = \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot (49 + 81 + 7 \cdot 9) = \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot (130 + 63) = \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot 193 = \frac{193\sqrt{3}}{9} \text{ см}^3$$

Ответ: $$\frac{193\sqrt{3}}{9} \text{ см}^3$$