1. Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD, ребро MD перпендикулярно к плоскости основания AD=DM=a. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Обозначим сторону квадрата ABCD как a. Так как MD перпендикулярно плоскости основания, MD является высотой пирамиды. Площадь основания пирамиды (квадрата ABCD): $S_{осн} = a^2$ Теперь найдем боковые грани. MD = a, следовательно, площадь треугольника MDC: $S_{MDC} = \frac{1}{2} * MD * DC = \frac{1}{2} * a * a = \frac{a^2}{2}$ Аналогично, площадь треугольника MDA: $S_{MDA} = \frac{1}{2} * MD * DA = \frac{1}{2} * a * a = \frac{a^2}{2}$ Далее, нужно найти боковые грани MAB и MBC. Для этого найдем длину MB. Рассмотрим треугольник MDB: $MB = \sqrt{MD^2 + DB^2}$ Так как ABCD - квадрат, то $DB = a\sqrt{2}$. Тогда: $MB = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ Теперь рассмотрим треугольник MAB. Он равнобедренный (MA = MB). Высота AH в этом треугольнике является медианой, тогда $AH = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$. Найдем высоту MH: $MH = \sqrt{MB^2 - AH^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{3a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{11a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{11}}{2}$ Площадь треугольника MAB: $S_{MAB} = \frac{1}{2} * AB * MH = \frac{1}{2} * a * \frac{a\sqrt{11}}{2} = \frac{a^2\sqrt{11}}{4}$ Аналогично, площадь треугольника MBC: $S_{MBC} = \frac{a^2\sqrt{11}}{4}$ Площадь поверхности пирамиды: $S_{полн} = S_{осн} + S_{MDC} + S_{MDA} + S_{MAB} + S_{MBC} = a^2 + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2\sqrt{11}}{4} + \frac{a^2\sqrt{11}}{4} = a^2 + a^2 + \frac{a^2\sqrt{11}}{2} = 2a^2 + \frac{a^2\sqrt{11}}{2} = a^2(2 + \frac{\sqrt{11}}{2})$ Ответ: Площадь поверхности пирамиды равна $a^2(2 + \frac{\sqrt{11}}{2})$.