2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, стороны которого равны $a\sqrt{6}$ и $2a$, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите: a) меньшую высоту параллелограмма; б) угол между плоскостью $ABC_1$ и плоскостью основания; в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; г)* площадь поверхности параллелепипеда.

a) Найдем меньшую высоту параллелограмма ABCD. Площадь параллелограмма можно выразить двумя способами: через произведение сторон на синус угла между ними и через произведение основания на высоту. $S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) = h_a \cdot a$ В нашем случае, $a = a\sqrt{6}$, $b = 2a$, $\alpha = 45°$. Тогда: $S = a\sqrt{6} \cdot 2a \cdot sin(45°) = a\sqrt{6} \cdot 2a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 \cdot 2\sqrt{3}$ Найдем высоту, опущенную на сторону $2a$ (меньшая высота): $h = \frac{S}{2a} = \frac{a^2 \cdot 2\sqrt{3}}{2a} = a\sqrt{3}$ Ответ: Меньшая высота параллелограмма равна $a\sqrt{3}$. б) Найдем угол между плоскостью $ABC_1$ и плоскостью основания. Опустим перпендикуляр $C_1K$ на сторону $AB$. Тогда угол между плоскостями $ABC_1$ и $ABC$ - это угол $C_1KC$. $CK$ - это высота параллелограмма, опущенная на сторону $AB$, т.е. $CK = a\sqrt{3}$. Так как параллелепипед прямой, то $CC_1$ перпендикулярна основанию, и $CC_1 = CK = a\sqrt{3}$. Тогда треугольник $C_1CK$ - равнобедренный прямоугольный, и угол $C_1KC = 45°$. Ответ: Угол между плоскостью $ABC_1$ и плоскостью основания равен 45°. в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту параллелепипеда. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма, то есть $a\sqrt{3}$. Периметр основания: $P = 2(a\sqrt{6} + 2a) = 2a(\sqrt{6} + 2)$ Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h = 2a(\sqrt{6} + 2) \cdot a\sqrt{3} = 2a^2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$ Ответ: Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна $2a^2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$. г) Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания. Площадь основания мы уже нашли: $S_{осн} = a^2 \cdot 2\sqrt{3}$. $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2a^2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) + 2 \cdot a^2 \cdot 2\sqrt{3} = 2a^2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 2a^2(3\sqrt{2} + 4\sqrt{3})$ Ответ: Площадь поверхности параллелепипеда равна $2a^2(3\sqrt{2} + 4\sqrt{3})$.