1. Основанием пирамиды $$MABCD$$ является квадрат $$ABCD$$, ребро $$MD$$ перпендикулярно к плоскости основания, $$AD=DM=a$$. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Чтобы найти площадь поверхности пирамиды, нам нужно сложить площадь основания (квадрата) и площади всех боковых граней (треугольников). 1. Площадь основания: Основание - квадрат $$ABCD$$ со стороной $$a$$. Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $$S_{ABCD} = a^2$$ 2. Площади боковых граней: Т.к. $$MD$$ перпендикулярно плоскости основания, то $$MDA$$, $$MDC$$ - прямоугольные треугольники. $$AD = DC = DM = a$$, следовательно, эти треугольники равны и их площади равны: $$S_{MDA} = S_{MDC} = \frac{1}{2} cdot AD cdot DM = \frac{1}{2} cdot a cdot a = \frac{1}{2}a^2$$ Осталось найти площади треугольников $$MAB$$ и $$MBC$$. Они также будут равны между собой. Для этого нужно найти высоту, проведённую из вершины $$M$$ к стороне $$AB$$ (или $$BC$$). Обозначим эту высоту $$MH$$, где $$H$$ - середина $$AB$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$MDH$$. По теореме Пифагора: $$MH = \sqrt{MD^2 + DH^2}$$ Т.к. $$ABCD$$ - квадрат со стороной $$a$$, то $$DH$$ является медианой и высотой, а значит, $$DH = \frac{a}{2}$$. Тогда: $$MH = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$ Теперь можно найти площади треугольников $$MAB$$ и $$MBC$$: $$S_{MAB} = S_{MBC} = \frac{1}{2} cdot AB cdot MH = \frac{1}{2} cdot a cdot a\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$$ 3. Площадь всей поверхности: $$S_{полн} = S_{ABCD} + S_{MDA} + S_{MDC} + S_{MAB} + S_{MBC} = a^2 + \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}a^2 + \frac{a^2\sqrt{2}}{2} + \frac{a^2\sqrt{2}}{2} = a^2 + a^2 + a^2\sqrt{2} = 2a^2 + a^2\sqrt{2} = a^2(2 + \sqrt{2})$$ Ответ: Площадь поверхности пирамиды равна $$a^2(2 + \sqrt{2})$$.