2. Основанием прямого параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ является параллелограмм $$ABCD$$, стороны которого равны $$a\sqrt{2}$$ и $$2a$$, острый угол равен $$45°$$. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите: a) меньшую высоту параллелограмма; б) угол между плоскостью $$ABC_1$$ и плоскостью основания; в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; г) площадь поверхности параллелепипеда.

Разберем эту задачу по частям: а) Меньшая высота параллелограмма В параллелограмме меньшая высота опущена на большую сторону. Обозначим высоту, опущенную на сторону $$2a$$ как $$h$$. Тогда: $$h = a\sqrt{2} \cdot sin(45°) = a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a$$ Таким образом, меньшая высота параллелограмма равна $$a$$. б) Угол между плоскостью $$ABC_1$$ и плоскостью основания Опустим перпендикуляр $$C_1H$$ на плоскость основания $$ABCD$$. Так как параллелепипед прямой, то $$C_1C$$ перпендикулярно $$ABCD$$, значит точка $$H$$ лежит на прямой $$BC$$. Угол $$C_1CH$$ и будет углом между плоскостями $$ABC_1$$ и $$ABCD$$. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма, т.е. $$CC_1 = a$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$C_1CH$$. Угол $$C_1CH$$ обозначим как $$\phi$$. Тогда $$tan(\phi) = \frac{CC_1}{BC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$$. Следовательно, $$\phi = arctan(\frac{1}{2})$$. в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна периметру основания, умноженному на высоту параллелепипеда. $$S_{бок} = P_{ABCD} \cdot CC_1 = 2(a\sqrt{2} + 2a) \cdot a = 2a^2(\sqrt{2} + 2)$$. г) Площадь поверхности параллелепипеда Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания. Площадь основания (параллелограмма) равна: $$S_{ABCD} = a\sqrt{2} \cdot 2a \cdot sin(45°) = a\sqrt{2} \cdot 2a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2a^2$$ Тогда площадь полной поверхности параллелепипеда равна: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{ABCD} = 2a^2(\sqrt{2} + 2) + 2 \cdot 2a^2 = 2a^2(\sqrt{2} + 2 + 2) = 2a^2(\sqrt{2} + 4)$$. Ответы: а) Меньшая высота параллелограмма равна $$a$$. б) Угол между плоскостью $$ABC_1$$ и плоскостью основания равен $$arctan(\frac{1}{2})$$. в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна $$2a^2(\sqrt{2} + 2)$$. г) Площадь поверхности параллелепипеда равна $$2a^2(\sqrt{2} + 4)$$.