3. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом \(60^\circ\). Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана пирамида \(SABCD\), где основание \(ABCD\) - прямоугольник, грань \(SAB\) перпендикулярна основанию, а высота пирамиды \(SA = 6\). Так как грани \(SBC\), \(SCD\) и \(SAD\) наклонены к основанию под углом \(60^\circ\), то высота пирамиды \(SA\) проецируется в точку \(A\), и углы между наклонными гранями и основанием – это углы \(\angle SBA, \angle SCA, \angle SDA\). Так как \(\angle SCA = 60^\circ\), то в прямоугольном треугольнике \(SAC\) катет \(AC = \frac{SA}{tg 60^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\). Так как \(\angle SDA = 60^\circ\), то в прямоугольном треугольнике \(SAD\) катет \(AD = \frac{SA}{tg 60^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\). Так как \(\angle SBA = 60^\circ\), то в прямоугольном треугольнике \(SAB\) катет \(AB = \frac{SA}{tg 60^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\). Получается, что \(AC = AD = AB = 2\sqrt{3}\). Так как \(ABCD\) – прямоугольник, то \(AD = BC = 2\sqrt{3}\) и \(AB = CD = 2\sqrt{3}\). Значит, прямоугольник является квадратом со стороной \(2\sqrt{3}\). Площадь основания пирамиды \(S_{ABCD} = (2\sqrt{3})^2 = 12\). Объём пирамиды \(V = \frac{1}{3}S_{ABCD} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 6 = 24\). Ответ: 24