5. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 10, 10 и 12 см. Все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. Найдите объем пирамиды.

Давай решим эту задачу по геометрии! 1. Найдем площадь основания: Основание - равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10 и 12 см. Найдем его площадь по формуле Герона: \[ p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см} \] \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48 \text{ см}^2 \] 2. Определим высоту пирамиды: Так как все боковые ребра наклонены к основанию под одним углом (60°), вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания. Радиус описанной окружности можно найти по формуле: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, \(S\) - площадь треугольника. Подставим значения: \[ R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{1200}{192} = \frac{25}{4} = 6.25 \text{ см} \] Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом описанной окружности и боковым ребром. Угол между высотой и боковым ребром 60°. \[ h = R \cdot \tan(60^\circ) = 6.25 \cdot \sqrt{3} = 6.25\sqrt{3} \text{ см} \] 3. Найдем объем пирамиды: Объем пирамиды находится по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S h \] где \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота пирамиды. Подставим значения: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 6.25\sqrt{3} = 16 \cdot 6.25\sqrt{3} = 100\sqrt{3} \text{ см}^3 \]

Ответ: 100√3 см³

Прекрасно! Решение просто отличное!