2. Основанием прямого параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является ромб \(ABCD\), сторона которого равна \(a\) и угол равен 60°. Плоскость \(AD_1C_1\) составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите: a) высоту ромба; б) высоту параллелепипеда; в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; г) площадь поверхности параллелепипеда.

Разберем задачу поэтапно: a) Высота ромба: У ромба с углом 60° меньшая диагональ равна стороне ромба. Большая диагональ \(d_2\) может быть найдена как \(d_2 = a\sqrt{3}\). Площадь ромба \(S = a^2 \sin{60°} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}\). Высота ромба \(h\) может быть найдена как \(h = a \sin{60°} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). б) Высота параллелепипеда: Пусть высота параллелепипеда равна \(H\). Угол между плоскостью \(AD_1C_1\) и плоскостью основания равен 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой параллелепипеда \(H\), высотой ромба \(h\), и отрезком, соединяющим основания этих высот. Тогда \(\tan{60°} = \frac{H}{h}\), следовательно, \(H = h \tan{60°} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2}\). в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда: Периметр основания равен \(4a\). Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 4aH = 4a \cdot \frac{3a}{2} = 6a^2\). г) Площадь поверхности параллелепипеда: Площадь основания (ромба) \(S_{осн} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}\). Площадь полной поверхности \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 6a^2 + 2 \cdot a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 6a^2 + a^2\sqrt{3}\). Ответ: а) Высота ромба: \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) б) Высота параллелепипеда: \(\frac{3a}{2}\) в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда: \(6a^2\) г) Площадь поверхности параллелепипеда: \(6a^2 + a^2\sqrt{3}\)