220. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, основанием которого является ромб $$ABCD$$ с диагоналями $$AC = 24$$ см и $$BD = 10$$ см. Высота параллелепипеда $$AA_1 = 10$$ см. Нужно найти большую диагональ параллелепипеда, то есть диагональ $$B_1D$$.

1. Найдем сторону ромба $$AB$$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть $$O$$ - точка пересечения диагоналей. Тогда $$AO = \frac{1}{2}AC = 12$$ см и $$BO = \frac{1}{2}BD = 5$$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. По теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$

2. Найдем диагональ $$BD$$ основания. Рассмотрим треугольник $$ABD$$. По теореме косинусов:

3. Найдем диагональ $$B_1D$$ параллелепипеда. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB_1D$$. По теореме Пифагора: $$B_1D^2 = BB_1^2 + BD^2$$

Так как нам не хватает данных о ромбе (угол между сторонами), чтобы найти диагональ $$BD$$, будем искать большую диагональ как $$A_1C$$.

1. Рассмотрим прямоугольник $$AA_1C_1C$$. $$AA_1 = 10$$ см, $$AC = 24$$ см. По теореме Пифагора: $$A_1C = \sqrt{AA_1^2 + AC^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 \text{ см}$$

Ответ: 26 см