Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, причём AB = 6 см, угол В равен 120°, боковое ребро CC₁ = 8 см. Найти площадь сечения АСВ; *б) тангенс угла наклона плоскости (A₁C₁B) к плоскости (ACC₁).

Дано:

Прямая призма ABC A₁B₁C₁. Основание — равнобедренный \( \triangle ABC \) с основанием AC.

AB = 6 см, \( \angle B = 120^{\circ} \), CC₁ = 8 см.

Найти:

а) Площадь сечения \( A_{1}C_{1}B \).

б) Тангенс угла наклона плоскости \( (A_{1}C_{1}B) \) к плоскости \( (ACC_{1}) \).

Решение:

а) Площадь сечения \( A_{1}C_{1}B \):

1. Сечение \( A_{1}C_{1}B \) является прямоугольником, так как \( BB_1 \perp AC \) и \( BB_1 \perp A_1C_1 \) (так как \( AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \)).
2. Найдем основание AC равнобедренного \( \triangle ABC \) по теореме косинусов: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos \angle B \).
3. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием AC, то \( AB = BC = 6 \) см.
4. \( AC^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cos 120^{\circ} = 36 + 36 - 72 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 72 + 36 = 108 \).
5. \( AC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \) см.
6. Так как призма прямая, то боковое ребро \( BB_1 = CC_1 = 8 \) см.
7. Площадь прямоугольника \( A_{1}C_{1}B \) равна произведению сторон: \( S_{A_1C_1B} = AC \cdot BB_1 \).
8. \( S_{A_1C_1B} = 6\sqrt{3} \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 \).

б) Тангенс угла наклона плоскости \( (A_{1}C_{1}B) \) к плоскости \( (ACC_{1}) \):

1. Плоскости \( (A_{1}C_{1}B) \) и \( (ACC_{1}) \) пересекаются по прямой \( A_{1}C_{1} \) (или \( AC \), так как \( AC \text{ || } A_1C_1 \)).
2. Проведем перпендикуляр к линии пересечения \( A_1C_1 \) в плоскости \( (A_{1}C_{1}B) \). Это будет отрезок \( BB_1 \) (так как \( BB_1 \perp A_1C_1 \) и \( BB_1 \) лежит в плоскости \( A_{1}C_{1}B \)).
3. Проведем перпендикуляр к линии пересечения \( AC \) в плоскости \( (ACC_{1}) \). Для этого найдем высоту \( BH \) в \( \triangle ABC \) к основанию \( AC \).
4. В равнобедренном \( \triangle ABC \) высота \( BH \) является медианой и биссектрисой. \( AH = HC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \) см.
5. Найдем \( BH \) по теореме Пифагора в \( \triangle ABH \): \( BH^2 = AB^2 - AH^2 = 6^2 - (3\sqrt{3})^2 = 36 - (9 \cdot 3) = 36 - 27 = 9 \).
6. \( BH = 3 \) см.
7. Угол между плоскостями \( (A_{1}C_{1}B) \) и \( (ACC_{1}) \) — это угол между перпендикулярами \( BB_1 \) и \( BH \) к линии пересечения \( A_1C_1 \parallel AC \).
8. В данной призме \( BB_1 \) не перпендикулярна плоскости \( ACC_1 \). Найдем линию пересечения плоскостей \( (A_{1}C_{1}B) \) и \( (ACC_{1}) \). Это прямая \( A_{1}C_{1} \).
9. Опустим перпендикуляр из \( B \) на \( A_{1}C_{1} \) — это \( BH \). \( BH = 3 \) см.
10. Опустим перпендикуляр из \( B \) на \( AC \) — это \( BH \).
11. Линия пересечения плоскостей — \( A_1C_1 \).
12. Перпендикуляр к \( A_1C_1 \) в плоскости \( A_1C_1B \) — это \( BB_1 \).
13. Перпендикуляр к \( A_1C_1 \) в плоскости \( ACC_1 \) — это \( BH \).
14. Угол между плоскостями — это угол между \( BB_1 \) и \( BH \).
15. Так как \( BB_1 \) является боковым ребром призмы, то \( BB_1 \perp \left( ABC \right) \).
16. \( BH \) — высота, проведенная к основанию \( AC \) в \( \triangle ABC \).
17. Рассмотрим плоскость, проходящую через \( B \), \( H \) и \( C_1 \). В этой плоскости \( BH \perp AC \).
18. Угол между плоскостями — это угол между \( BH \) и \( B_1H \) (или \( C_1H \)).
19. Угол наклона плоскости \( (A_{1}C_{1}B) \) к плоскости \( (ACC_{1}) \) — это угол между \( BH \) и \( B_1H \).
20. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BHB_1 \). \( BH = 3 \) см, \( BB_1 = 8 \) см.
21. \( \text{tg} \angle BHB_1 = \frac{BB_1}{BH} = \frac{8}{3} \).

Ответ: а) Площадь сечения \( A_{1}C_{1}B \) равна \( 48\sqrt{3} \text{ см}^2 \). б) Тангенс угла наклона плоскости \( (A_{1}C_{1}B) \) к плоскости \( (ACC_{1}) \) равен \( \frac{8}{3} \).