В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания AB = 10 см, высота PH = 5√6 см. Найти угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости её основания; площадь сечения, проходящего через высоту и боковое ребро.

Дано:

Пирамида PABCD, AB = 10 см, PH = \( 5\sqrt{6} \) см, PH — высота.

Найти:

1. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

2. Площадь сечения, проходящего через высоту и боковое ребро.

Решение:

1. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания:

1. В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат. \( AB = BC = CD = DA = 10 \) см.
2. Высота PH падает в центр квадрата. Точка H — середина диагонали AC.
3. Диагональ квадрата \( AC = AB \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) см.
4. \( AH = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \text{ см} = 5\sqrt{2} \) см.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник PAH. Угол наклона бокового ребра PA к плоскости основания — это угол \( \angle PAH \).
6. \( \text{tg} \angle PAH = \frac{PH}{AH} = \frac{5\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3} \).
7. Так как \( \text{tg} \angle PAH = \sqrt{3} \), то \( \angle PAH = 60^{\circ} \).

2. Площадь сечения, проходящего через высоту и боковое ребро:

1. Сечение, проходящее через высоту PH и боковое ребро PA, — это прямоугольный треугольник PAH.
2. Площадь этого треугольника: \( S_{PAH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot PH \).
3. \( S_{PAH} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \text{ см} \cdot 5\sqrt{6} \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 25 \sqrt{12} \text{ см}^2 = \frac{25}{2} \sqrt{4 \cdot 3} \text{ см}^2 = \frac{25}{2} \cdot 2\sqrt{3} \text{ см}^2 = 25\sqrt{3} \text{ см}^2 \).

Ответ: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен \( 60^{\circ} \). Площадь сечения равна \( 25\sqrt{3} \text{ см}^2 \).