Основания прямоугольной трапеции равны a и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если a=4 см, b=7см, α=60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если а=10 см, b=15 см, α=45°.

а) Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD = a, BC = b, ∠A = 90°, ∠D = α. Необходимо найти большую боковую сторону CD.

Проведем высоту CK к основанию AD. Тогда AK = BC = b, KD = AD - AK = a - b.

В прямоугольном треугольнике CKD: $$CD = \frac{CK}{\sin α}$$

Так как CK = AB (как высоты прямоугольной трапеции), а AB = CK = a - b, то

$$CD = \frac{a - b}{\sin α} = \frac{7 - 4}{\sin 60°} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$ см

б) Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD = a, BC = b, ∠A = 90°, ∠D = α. Необходимо найти меньшую боковую сторону AB.

Проведем высоту CK к основанию AD. Тогда AK = BC = b, KD = AD - AK = a - b.

В прямоугольном треугольнике CKD: $$CK = KD \cdot \tan α$$

$$CK = (a - b) \cdot \tan α = (15 - 10) \cdot \tan 45° = 5 \cdot 1 = 5$$ см

Так как AB = CK (как высоты прямоугольной трапеции), то

AB = 5 см