Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а ее периметр равен 52. Найдите площадь трапеции.

Пусть a и b – основания трапеции, где a = 8 и b = 18. Пусть c – боковая сторона равнобедренной трапеции. Периметр P равен сумме всех сторон: $$P = a + b + 2c$$.

Нам дано, что периметр равен 52, поэтому:

$$52 = 8 + 18 + 2c$$ $$52 = 26 + 2c$$ $$2c = 52 - 26$$ $$2c = 26$$ $$c = 13$$

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, нам нужна высота h. Мы можем найти её, используя боковую сторону и разность полуразностей оснований. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Эта часть равна $$\frac{b - a}{2}$$.

$$\frac{b - a}{2} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

$$h^2 + (\frac{b - a}{2})^2 = c^2$$ $$h^2 + 5^2 = 13^2$$ $$h^2 + 25 = 169$$ $$h^2 = 169 - 25$$ $$h^2 = 144$$ $$h = \sqrt{144}$$ $$h = 12$$

Теперь мы можем найти площадь трапеции S по формуле:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$ $$S = \frac{8 + 18}{2} \cdot 12$$ $$S = \frac{26}{2} \cdot 12$$ $$S = 13 \cdot 12$$ $$S = 156$$

Таким образом, площадь трапеции равна 156.