4. Основания равнобедренной трапеции равны 50 и 104, боковая сторона 45. Найдите длину диагонали трапеции.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AD = 104, BC = 50, AB = CD = 45.

Проведём высоты BH и CK. Тогда AH = KD = (AD - BC) / 2 = (104 - 50) / 2 = 54 / 2 = 27.

Рассмотрим треугольник ABH. По теореме Пифагора: $$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{45^2 - 27^2} = \sqrt{2025 - 729} = \sqrt{1296} = 36$$

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем AD = 104, AB = 45 и BH = 36. Чтобы найти BD, можно воспользоваться теоремой косинусов или найти AK и рассмотреть треугольник ACK.

AK = AD - KD = 104 - 27 = 77

Рассмотрим треугольник ACK. CK = BH = 36, AK = 77. По теореме Пифагора: $$AC = \sqrt{AK^2 + CK^2} = \sqrt{77^2 + 36^2} = \sqrt{5929 + 1296} = \sqrt{7225} = 85$$

Ответ: 85