Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Найдите площадь.

Пусть дана равнобокая трапеция $$ABCD$$, где $$AD = 18$$ см, $$BC = 12$$ см, и диагональ $$AC$$ является биссектрисой угла $$BAD$$. Так как $$AC$$ - биссектриса угла $$BAD$$, то $$\angle BAC = \angle CAD$$. Поскольку $$BC \parallel AD$$, то $$\angle BCA = \angle CAD$$ как накрест лежащие углы. Следовательно, $$\angle BAC = \angle BCA$$, значит, треугольник $$ABC$$ - равнобедренный, и $$AB = BC = 12$$ см. Проведем высоты $$BH$$ и $$CF$$ из вершин $$B$$ и $$C$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AH = FD = (AD - BC)/2 = (18 - 12)/2 = 6/2 = 3$$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора, $$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 12^2 - 3^2 = 144 - 9 = 135$$. Следовательно, $$BH = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$$ см. Площадь трапеции $$ABCD$$ равна: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{12 + 18}{2} \cdot 3\sqrt{15} = \frac{30}{2} \cdot 3\sqrt{15} = 15 \cdot 3\sqrt{15} = 45\sqrt{15}$$ Ответ: Площадь трапеции равна $$45\sqrt{15}$$ см$$^2$$.