4. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

Давай решим эту задачу вместе. У нас есть равнобокая трапеция, у которой основания равны 10 см и 20 см. Диагональ является биссектрисой тупого угла. Наша задача - найти площадь этой трапеции.

Пусть ABCD - данная равнобокая трапеция, где AD = 20 см и BC = 10 см - основания, AB = CD - боковые стороны. Диагональ AC - биссектриса угла BAD. Так как трапеция равнобокая, углы при большем основании равны, то есть ∠BAD = ∠CDA. Поскольку AC - биссектриса, то ∠BAC = ∠CAD.

Рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC равен углу CAD, а угол CAD равен углу BCA как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Следовательно, угол BAC равен углу BCA. Это означает, что треугольник ABC - равнобедренный, и AB = BC = 10 см.

Теперь у нас есть равнобокая трапеция, у которой боковая сторона равна меньшему основанию. Опустим высоту BH из вершины B на основание AD. Тогда AH = (AD - BC) / 2 = (20 - 10) / 2 = 5 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём AB = 10 см и AH = 5 см. По теореме Пифагора найдем высоту BH:

$$BH^2 = AB^2 - AH^2$$ $$BH^2 = 10^2 - 5^2$$ $$BH^2 = 100 - 25$$ $$BH^2 = 75$$ $$BH = \sqrt{75}$$ $$BH = 5\sqrt{3}$$ см

Теперь мы можем найти площадь трапеции ABCD по формуле:

$$S = \frac{1}{2} * (BC + AD) * BH$$ $$S = \frac{1}{2} * (10 + 20) * 5\sqrt{3}$$ $$S = \frac{1}{2} * 30 * 5\sqrt{3}$$ $$S = 15 * 5\sqrt{3}$$ $$S = 75\sqrt{3}$$ см²

Ответ: Площадь трапеции равна $$75\sqrt{3}$$ см²