3. Высота BD треугольника АВС делит его сторону АС на отрезки AD и CD. Найдите сторону ВС, если АВ = 4√6 см, CD = 3 см, ∠ABD = 30°.

Давай решим эту задачу вместе. У нас есть треугольник ABC, в котором BD - высота, опущенная на сторону AC. Эта высота делит сторону AC на два отрезка: AD и CD. Нам известны длина стороны AB, длина отрезка CD и угол ABD. Наша цель - найти длину стороны BC.

Для начала рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный, так как BD - высота. Мы знаем, что угол ABD равен 30 градусам. Также нам известна длина гипотенузы AB, которая равна $$4\sqrt{6}$$ см. В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы. Но в данном случае нас интересует катет BD, прилежащий к углу в 30 градусов. Мы можем найти его, используя косинус угла ABD:

$$cos(∠ABD) = \frac{BD}{AB}$$ $$BD = AB * cos(∠ABD)$$ $$BD = 4\sqrt{6} * cos(30°)$$ $$BD = 4\sqrt{6} * \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$BD = 2\sqrt{18}$$ $$BD = 2 * 3\sqrt{2}$$ $$BD = 6\sqrt{2}$$ см

Теперь, когда мы знаем длину BD, мы можем найти длину AD, используя тангенс угла ABD:

$$tan(∠ABD) = \frac{AD}{BD}$$ $$AD = BD * tan(∠ABD)$$ $$AD = 6\sqrt{2} * tan(30°)$$ $$AD = 6\sqrt{2} * \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$AD = 2\sqrt{6}$$ см

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Он тоже прямоугольный, так как BD - высота. Мы знаем, что CD = 3 см и BD = $$6\sqrt{2}$$ см. Мы можем найти длину стороны BC, используя теорему Пифагора:

$$BC^2 = BD^2 + CD^2$$ $$BC^2 = (6\sqrt{2})^2 + 3^2$$ $$BC^2 = 36 * 2 + 9$$ $$BC^2 = 72 + 9$$ $$BC^2 = 81$$ $$BC = \sqrt{81}$$ $$BC = 9$$ см

Ответ: BC = 9 см