17. Основания трапеции равны 12 и 68, одна из боковых сторон равна \( 50 \), а косинус угла между ней и одним из оснований равен \( \frac{2\sqrt{66}}{25} \). Найдите площадь трапеции.

Для решения этой задачи, сначала необходимо найти высоту трапеции. Обозначим высоту трапеции за \( h \). Зная косинус угла между боковой стороной и основанием, а также длину боковой стороны, мы можем найти проекцию боковой стороны на основание. Пусть эта проекция равна \( x \). Тогда: \( \cos(\alpha) = \frac{x}{50} \) \( x = 50 \cdot \cos(\alpha) = 50 \cdot \frac{2\sqrt{66}}{25} = 4\sqrt{66} \) Теперь, когда мы знаем проекцию \( x \), мы можем найти высоту \( h \) из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и проекцией: \( h = \sqrt{50^2 - x^2} = \sqrt{50^2 - (4\sqrt{66})^2} = \sqrt{2500 - 16 \cdot 66} = \sqrt{2500 - 1056} = \sqrt{1444} = 38 \) Теперь, когда мы знаем высоту трапеции \( h = 38 \), мы можем найти площадь трапеции \( S \) по формуле: \( S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h \) где \( a \) и \( b \) - основания трапеции, то есть \( 12 \) и \( 68 \). \( S = \frac{(12 + 68)}{2} \cdot 38 = \frac{80}{2} \cdot 38 = 40 \cdot 38 = 1520 \) Ответ: Площадь трапеции равна \( 1520 \).