17. Основания трапеции равны 12 и 68, одна из боковых сторон равна 7. а косинус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{2\sqrt{66}}{25}$$. Найдите площадь трапеции.

Чтобы найти площадь трапеции, нам нужно знать ее высоту. Обозначим основания трапеции как $$a = 12$$ и $$b = 68$$, а боковую сторону как $$c = 7$$. Пусть $$h$$ - высота трапеции. Косинус угла между боковой стороной и основанием равен $$\frac{2\sqrt{66}}{25}$$. Используем это, чтобы найти проекцию боковой стороны на большее основание: $$x = c \cdot cos(\alpha) = 7 \cdot \frac{2\sqrt{66}}{25} = \frac{14\sqrt{66}}{25}$$. Теперь найдем высоту трапеции: $$h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{7^2 - (\frac{14\sqrt{66}}{25})^2} = \sqrt{49 - \frac{196 \cdot 66}{625}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 625 - 196 \cdot 66}{625}} = \sqrt{\frac{30625 - 12936}{625}} = \sqrt{\frac{17689}{625}} = \frac{133}{25}$$. Площадь трапеции равна: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{12+68}{2} \cdot \frac{133}{25} = \frac{80}{2} \cdot \frac{133}{25} = 40 \cdot \frac{133}{25} = \frac{5320}{25} = 212.8$$. Ответ: 212.8