Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\). Найдите площадь трапеции.

Пусть основания трапеции \(a = 18\) и \(b = 12\). Боковая сторона \(c = 6\), а косинус угла между боковой стороной и основанием \(\cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}\). Найдём синус этого угла: \begin{aligned} \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) &= 1 \\ \sin^2(\alpha) &= 1 - \cos^2(\alpha) \\ \sin^2(\alpha) &= 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 \\ \sin^2(\alpha) &= 1 - \frac{8}{9} \\ \sin^2(\alpha) &= \frac{1}{9} \\ \sin(\alpha) &= \frac{1}{3} \end{aligned} Высота трапеции \(h = c \sin(\alpha) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2\). Площадь трапеции равна: \begin{aligned} S &= \frac{a + b}{2} \cdot h \\ S &= \frac{18 + 12}{2} \cdot 2 \\ S &= \frac{30}{2} \cdot 2 \\ S &= 15 \cdot 2 \\ S &= 30 \end{aligned} Ответ: 30