3. Основания трапеции равны 7 и 63, одна из боковых сторон равна 18, а косинус угла между ней и одним из оснований равен \(\frac{4\sqrt{3}}{7}\). Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции как \(a = 7\) и \(b = 63\), боковую сторону как \(c = 18\), а косинус угла между боковой стороной и основанием как \(\cos \alpha = \frac{4\sqrt{3}}{7}\). Сначала найдем высоту трапеции \(h\). Мы знаем, что \(\cos \alpha = \frac{x}{c}\), где \(x\) - проекция боковой стороны на большее основание. Тогда \(x = c \cdot \cos \alpha = 18 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{72\sqrt{3}}{7}\). Теперь найдем высоту \(h\). Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и проекцией, имеем \(h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{18^2 - (\frac{72\sqrt{3}}{7})^2} = \sqrt{324 - \frac{72^2 \cdot 3}{49}} = \sqrt{324 - \frac{15552}{49}} = \sqrt{\frac{324 \cdot 49 - 15552}{49}} = \sqrt{\frac{15876 - 15552}{49}} = \sqrt{\frac{324}{49}} = \frac{18}{7}\). Теперь можем найти площадь трапеции по формуле: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{7 + 63}{2} \cdot \frac{18}{7} = \frac{70}{2} \cdot \frac{18}{7} = 35 \cdot \frac{18}{7} = 5 \cdot 18 = 90\) Ответ: Площадь трапеции равна 90.