Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Доказательство:

1. Рассмотрим трапецию ABCD, где BC || AD.
2. Высота BH падает на основание AD.
3. Рассмотрим треугольники CBD и BDA.
4. Угол CBD и угол BDA являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, \( \angle CBD = \angle BDA \).
5. Треугольники CBD и BDA имеют общую сторону BD.
6. По условию, основания BC = 5 и AD = 45.
7. Рассмотрим отношения сторон: \( \frac{BC}{BD} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \) и \( \frac{BD}{AD} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \).
8. Таким образом, \( \frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} \).
9. По второму признаку подобия (два угла равны), треугольники CBD и BDA подобны, если бы у них были равны углы, или по первому признаку, если бы были пропорциональны две стороны и угол между ними.
10. В данном случае у нас есть равенство углов \( \angle CBD = \angle BDA \) и пропорциональность сторон \( \frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} \) (если мы рассматриваем подобие \( \triangle CBD \sim \triangle BDA \)).
11. Однако, для подобия \( \triangle CBD \sim \triangle BDA \) нам нужно, чтобы \( \angle BCD = \angle DAB \) или \( \angle BDC = \angle ABD \), чего из условия не следует.
12. Давайте проверим подобие \( \triangle BDA \) и \( \triangle DCB \). \( \angle ADB = \angle DBC \) (накрест лежащие при BC || AD и секущей BD). \( \angle DAB = \angle BCD \) (это не следует из условия, что это трапеция).
13. Проверим подобие \( \triangle BDA \) и \( \triangle CBD \). \( \angle ADB = \angle CBD \) (накрест лежащие). \( \frac{AD}{BD} = \frac{45}{15} = 3 \) и \( \frac{BD}{BC} = \frac{15}{5} = 3 \).
14. Следовательно, \( \frac{AD}{BD} = \frac{BD}{BC} \).
15. По первому признаку подобия (пропорциональны две стороны и угол между ними), так как \( \angle ADB = \angle CBD \) и \( \frac{AD}{BD} = \frac{BD}{BC} \), то треугольник BDA подобен треугольнику CBD.

Доказано.