Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 21°. Найдите величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°.

Дано: Угол B = 21°.

Угол A = 180° - 90° - 21° = 69°.

CD — биссектриса угла C. Значит, угол ACD = Угол BCD = \( \frac{90°}{2} = 45° \).

CM — медиана, проведенная из вершины C к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Также, угол CMB = Угол A = 69°, и угол CMA = Угол B = 21°.

Рассмотрим угол BCM. Он равен 45°.

Теперь найдем угол BCM. В треугольнике CMB, CM=MB (медиана равна половине гипотенузы), значит треугольник CMB равнобедренный. Угол MCB = Угол B = 21°.

Угол ACM = Угол C - Угол MCB = \( 90° - 21° = 69° \).

Искомый угол — угол между биссектрисой CD и медианой CM.

Угол MCD = Угол BCD - Угол BCM = \( 45° - 21° = 24° \).

Ответ: 24.