От двух различных автозаправочных станций, расстояние между которыми равно 414 км, одновременно выехали 2 автомашины. Скорость одной равна 63 км/ч, а другой — 82 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа? Найдите все возможные варианты.

1. Определяем, как могут двигаться машины:

Есть два варианта: машины могут ехать навстречу друг другу или в одном направлении (одна догоняет другую).

Вариант 1: Машины едут навстречу друг другу.

2. Рассчитываем скорость сближения:

Когда машины едут навстречу, их скорости складываются.

\[ v_{\text{сближения}} = 63 \text{ км/ч} + 82 \text{ км/ч} = 145 \text{ км/ч} \]

3. Рассчитываем, сколько км они сблизятся за 2 часа:

\[ S_{\text{сближения}} = v_{\text{сближения}} \times t = 145 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 290 \text{ км} \]

4. Рассчитываем расстояние между машинами:

Изначальное расстояние между станциями было 414 км. За 2 часа они сблизились на 290 км. Значит, расстояние между ними станет:

\[ S_{\text{между}} = 414 \text{ км} - 290 \text{ км} = 124 \text{ км} \]

Вариант 2: Машины едут в одном направлении.

5. Рассчитываем скорость удаления (или сближения, если одна машина быстрее другой):

Когда машины едут в одном направлении, их скорости вычитаются.

\[ v_{\text{удаления}} = |82 \text{ км/ч} - 63 \text{ км/ч}| = 19 \text{ км/ч} \]

6. Рассчитываем, на сколько км изменится расстояние между ними за 2 часа:

\[ \Delta S = v_{\text{удаления}} \times t = 19 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 38 \text{ км} \]

7. Рассчитываем возможное расстояние между машинами:

Здесь есть два подварианта:

а) Если машины выехали из одной точки (что не соответствует условию, но для полноты картины): расстояние будет 38 км.

б) Если машины выехали из разных точек (414 км друг от друга), и едут в одном направлении. Чтобы найти расстояние между ними, нужно учесть начальное расстояние.

* Если более быстрая машина едет впереди, то расстояние между ними увеличится на 38 км:
\[ 414 \text{ км} + 38 \text{ км} = 452 \text{ км} \]

* Если более медленная машина едет впереди, то расстояние между ними уменьшится на 38 км:
\[ 414 \text{ км} - 38 \text{ км} = 376 \text{ км} \]

Итого, возможны следующие варианты расстояния между машинами через 2 часа:

1. Машины едут навстречу друг другу: 124 км.

2. Машины едут в одном направлении, и более быстрая машина выехала из точки, которая дальше от точки назначения: 452 км.

3. Машины едут в одном направлении, и более медленная машина выехала из точки, которая дальше от точки назначения: 376 км.

Ответ: 124 км, 452 км, 376 км