Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной около квадрата окружности равно:

Для решения этой задачи нам нужно вспомнить геометрию квадрата и связанных с ним окружностей.

1. Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине длины стороны квадрата. Пусть сторона квадрата будет равна $$a$$. Тогда радиус вписанной окружности $$r = \frac{a}{2}$$.

2. Радиус описанной окружности вокруг квадрата равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти по теореме Пифагора: $$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$. Тогда радиус описанной окружности $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

3. Теперь найдем отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности: $$\frac{r}{R} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$.

4. Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$