11. Отношение Т- «иметь одно и то же число делителей» задано на множестве Х = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}. Является ли T отношением эквивалентности? Отношением порядка?

Чтобы определить, является ли отношение T отношением эквивалентности или отношением порядка, нужно проверить его свойства.

Отношение эквивалентности должно быть рефлексивным, симметричным и транзитивным.

• Рефлексивность: Каждый элемент должен иметь одинаковое число делителей с самим собой. Это очевидно верно, так как любое число имеет ровно столько же делителей, сколько и оно само.
• Симметричность: Если a имеет то же число делителей, что и b, то b должно иметь то же число делителей, что и a. Это также верно.
• Транзитивность: Если a имеет то же число делителей, что и b, и b имеет то же число делителей, что и c, то a должно иметь то же число делителей, что и c. Это тоже верно.

Таким образом, отношение T является отношением эквивалентности.

Теперь проверим, является ли отношение T отношением порядка. Отношение порядка должно быть рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

• Рефлексивность: Как уже отмечалось, отношение рефлексивно.
• Антисимметричность: Если aTb и bTa, то a = b. В нашем случае, если a и b имеют одинаковое число делителей, это не означает, что a = b. Например, 2 и 3 имеют одинаковое число делителей (два), но 2 ≠ 3. Следовательно, отношение не является антисимметричным.

Так как отношение T не является антисимметричным, оно не является отношением порядка.

Чтобы определить количество классов эквивалентности, нужно посчитать число делителей для каждого элемента множества X и сгруппировать элементы с одинаковым числом делителей:

• 1 имеет 1 делитель.
• 2 имеет 2 делителя (1 и 2).
• 4 имеет 3 делителя (1, 2 и 4).
• 6 имеет 4 делителя (1, 2, 3 и 6).
• 7 имеет 2 делителя (1 и 7).
• 8 имеет 4 делителя (1, 2, 4 и 8).
• 10 имеет 4 делителя (1, 2, 5 и 10).
• 11 имеет 2 делителя (1 и 11).

Классы эквивалентности:

• {1} (1 делитель)
• {2, 7, 11} (2 делителя)
• {4} (3 делителя)
• {6, 8, 10} (4 делителя)

Всего 4 класса эквивалентности.

Ответ: T является отношением эквивалентности, но не является отношением порядка. Отношение T разбивает множество X на 4 класса эквивалентности.