Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы \(\overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1}\) через векторы \(\vec{a}=\overrightarrow{AC}\) и \(\vec{b}=\overrightarrow{AB}\).

Поскольку \(A_1\) — середина \(BC\), вектор из точки \(A\) к середине отрезка равен полусумме векторов к его концам:

\[\overrightarrow{AA_1}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac12(\vec{a}+\vec{b}).\]

Точка \(B_1\) — середина \(AC\), поэтому

\[\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}=-\vec{b}+\frac12\vec{a}=\frac12\vec{a}-\vec{b}.\]

Точка \(C_1\) — середина \(AB\), поэтому

\[\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC_1}=-\vec{a}+\frac12\vec{b}=\frac12\vec{b}-\vec{a}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{AA_1}=\frac12(\vec{a}+\vec{b})\), \(\overrightarrow{BB_1}=\frac12\vec{a}-\vec{b}\), \(\overrightarrow{CC_1}=\frac12\vec{b}-\vec{a}\).