Точки M и N — середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что \(\overrightarrow{MN}=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})\).

Так как \(M\) — середина \(AC\), то \(\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AC}\), а значит, \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AC}\).

Так как \(N\) — середина \(BD\), то \(\overrightarrow{BN}=\frac12\overrightarrow{BD}\).

По правилу сложения векторов:

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{BD}.\]

При этом \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\), а \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\). Следовательно,

\[\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})=\frac12(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BD}-\frac12\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MN}.\]

Что и требовалось доказать.