149 Отрезки АВ и CD – диаметры окруж- ности. Докажите свойства хорд: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

а) Дано: АВ и CD - диаметры, следовательно, АО = ОВ = СО = OD. Рассмотрим треугольники AOD и COB: AO = OB, CO = OD, углы AOD и COB равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство сторон AD и BC, что и требовалось доказать.

б) Дано: АВ и CD - диаметры, следовательно, АО = ОВ = СО = OD. Рассмотрим треугольники BOD и AOC: AO = OB, CO = OD, углы BOD и AOC равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство сторон BD и AC, что и требовалось доказать.

в) Дано: АВ и CD - диаметры, следовательно, АО = ОВ = СО = OD.

Т.к. хорды AC=BD(по условию а)), то дуги, на которые опираются эти хорды тоже равны, т.е. дуга AC=дуга BD.

Угол BAD - вписанный и опирается на дугу BD, угол BCD - вписанный и опирается на дугу AC. Т.к. дуги равны, то и углы равны, т.е. ∠BAD = ∠BCD.

Ответ: доказано.